삼각함수 덧셈정리 증명(그래픽스에서 물체의 회전에 사용)

단위원(반지름1)에서 두점 p와 q가 존재하고 각 점의 각이 α와 β일 때

삼각함수 덧셈정리 증명

 

p(cosα, sinα)

q(cosβ, sinβ)

 

코사인법칙에 따라서

pq^2 = op^2 + oq^2 - 2*op*oq*cos(poq)

 

(cosα - cosβ)^2 + (sinα - sinβ)^2 = 1(반지름) + 1(반지름) - 2 * 1 * 1 * cos(α - β)

cos^2α - 2cosαcosβ + cos^2β + sin^2α - 2sinαsinβ + sin^2β = 2 - 2*cos(α - β)

2 - 2cosαcosβ - 2sinαsinβ = 2 - 2*cos(α - β)

 

 

cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

완성

 

 

 

β자리에 -β를 넣어보자.

 

cos(α + β) = cosαcos(-β) + sinαsin(-β)

 

sin함수의 그래프를 보면

양수로 진행할 때는 0에서 시작해서 1로 갔다가 -1로 가기를 반복한다.

음수로 진행할 때는 0에서 시작해서 -1로 갔다가 1로 가기를 반복한다.

 

즉 sin함수는 원점에 의해서 대칭이기 때문에

각도가 음수가 되면 함수값의 부호가 달라져 버린다.

sin(-β) = -sinβ

 

cos함수의 그래프를 보면

양수로 진행할 때는 1에서 시작해서 -1로 갔다가 1로 가기를 반복한다.

음수로 진행할 때는 1에서 시작해서 -1로 갔다가 1로 가기를 반복한다.

 

즉 cos함수는 y축에 의해서 대칭이기 때문에

각도가 음수가 된다고 해도 함수값의 부호는 동일하다. 

cos(-β) = cosβ

 

결국

cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ 를 구할 수 있다.

 

 

 

이번에는 α 자리에 (π/2 - α)를 넣어보자

 

cos(π/2 - α - β) = cos(π/2 - α)cosβ + sin(π/2 - α)sinβ

cos(π/2 - (α + β)) = cos(π/2 - α)cosβ + sin(π/2 - α)sinβ

 

cos함수를 π/2만큼 평행이동 시키면 0을 기준으로 그래프 모양이 -sin함수가 되어버린다.

cos(π/2 - (α + β)) = -sin(-(α + β))

cos(π/2 - α)cosβ = -sin(-α)

 

sin함수를 π/2만큼 평행이동 시키면 0을 기준으로 그래프 모양이 cos함수가 되어버린다.

sin(π/2 - α) = cos(-α)

 

-sin(-(α + β)) = -sin(-α)cosβ + cos(-α)sinβ

 

완성

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

 

 

마지막으로 위식에 -β를 넣어보자.

sin(α - β) = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)

 

sinαcos(-β) = sinαcosβ

cosαsin(-β) = -cosαsinβ

 

sin(α - β) = sinαcosβ -cosαsinβ 를 구할 수 있다.

 

 

 

동차좌표로 회전을 표시하면 아래와 같다.

 

x'     cosΘ -sinΘ  0    x

y' =  sinΘ  cosΘ  0    y

1        0      0     1    z

 

 

 

 

 

그래픽스 책에서 물체의 회전이 나왔는데

회전각의 좌표를 sin과 cos으로 측정했다.

금방금방 까먹어버린다.